{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Softmax回归\n",
    ":label:`sec_softmax`\n",
    "\n",
    "在 :numref:`sec_linear_regression` 中我们介绍了线性回归。随后，在 :numref:`sec_linear_scratch` 中我们从头实现了线性回归。然后在 :numref:`sec_linear_concise` 中我们使用`DJL`来完成繁重的工作。\n",
    "\n",
    "回归可以用于预测  *多少* 的问题。比如预测房屋被售出价格，或者棒球队可能获得的胜利数，又或者患者住院的天数。\n",
    "\n",
    "事实上，我们经常对 *分类* 感兴趣：不是问“多少”，而是问“哪一个”：\n",
    "\n",
    "* 该电子邮件是否属于垃圾邮件文件夹？\n",
    "* 该用户可能 *注册* 或 *不注册* 订阅服务？\n",
    "* 该图像描绘的是驴、狗、猫、还是鸡？\n",
    "* 韩梅梅接下来最有可能看哪部电影？\n",
    "\n",
    "通常，机器学习实践者用*分类*这个词来描述两个有微妙差别的问题：\n",
    "（1）我们只对样本的硬性类别感兴趣，即属于哪个类别；（2）我们希望得到软性类别，即得到属于每个类别的概率。这两者的界限往往很模糊。其中的一个原因是，即使我们只关心硬类别，我们仍然使用软类别的模型。\n",
    "\n",
    "## 分类问题\n",
    ":label:`subsec_classification-problem`\n",
    "\n",
    "让我们从一个图像分类问题开始简单尝试一下。每次输入是一个 $2\\times2$ 的灰度图像。我们可以用一个标量表示每个像素值，每个图像对应四个特征 $x_1, x_2, x_3, x_4$。此外，让我们假设每个图像属于类别 “猫”，“鸡” 和 “狗” 中的一个。\n",
    "\n",
    "接下来，我们要选择如何表示标签。我们有两个明显的选择。也许最直接的想法是选择 $y \\in \\{1, 2, 3\\}$，其中整数分别代表 $\\{\\text{狗}, \\text{猫}, \\text{鸡}\\}$。这是在计算机上存储此类信息的好方法。如果类别间有一些自然顺序，比如说我们试图预测 $\\{\\text{婴儿}, \\text{儿童}, \\text{青少年}, \\text{青年人}, \\text{中年人}, \\text{老年人}\\}$，那么将这个问题转变为回归问题并保留这种格式是有意义的。\n",
    "\n",
    "但是，一般的分类问题并不与类别之间的自然顺序有关。幸运的是，统计学家很早以前就发明了一种表示分类数据的简单方法：*独热编码*（one-hot encoding）。独热编码是一个向量，它的分量和类别一样多。类别对应的分量设置为1，其他所有分量设置为0。\n",
    "在我们的例子中，标签 $y$ 将是一个三维向量，其中 $(1, 0, 0)$ 对应于 “猫”、$(0, 1, 0)$ 对应于 “鸡”、$(0, 0, 1)$ 对应于 “狗”：\n",
    "\n",
    "$$y \\in \\{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\\}.$$\n",
    "\n",
    "## 网络结构\n",
    " \n",
    "为了估计所有可能类别的条件概率，我们需要一个有多个输出的模型，每个类别对应一个输出。\n",
    "为了解决线性模型的分类问题，我们需要和输出一样多的仿射函数（affine function）。\n",
    "每个输出对应于它自己的仿射函数。\n",
    "在我们的例子中，由于我们有4个特征和3个可能的输出类别，我们将需要12个标量来表示权重（带下标的$w$），3个标量来表示偏置（带下标的$b$）。\n",
    "下面我们为每个输入计算三个*未归一化的预测*（logits）：$o_1$、$o_2$和$o_3$。\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\begin{aligned}\n",
    "o_1 &= x_1 w_{11} + x_2 w_{12} + x_3 w_{13} + x_4 w_{14} + b_1,\\\\\n",
    "o_2 &= x_1 w_{21} + x_2 w_{22} + x_3 w_{23} + x_4 w_{24} + b_2,\\\\\n",
    "o_3 &= x_1 w_{31} + x_2 w_{32} + x_3 w_{33} + x_4 w_{34} + b_3.\n",
    "\\end{aligned}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "我们可以用神经网络图 :numref:`fig_softmaxreg` 来描述这个计算过程。\n",
    "与线性回归一样，softmax回归也是一个单层神经网络。由于计算每个输出$o_1$、$o_2$和$o_3$取决于所有输入$x_1$、$x_2$、$x_3$和$x_4$，所以softmax回归的输出层也是全连接层。\n",
    "\n",
    "![softmax回归是一种单层神经网络。](http://d2l.ai/_images/softmaxreg.svg)\n",
    ":label:`fig_softmaxreg`\n",
    "\n",
    "为了更简洁地表达模型，我们仍然使用线性代数符号。\n",
    "通过向量形式表达为 $\\mathbf{o} = \\mathbf{W} \\mathbf{x} + \\mathbf{b}$，这是一种更适合数学和编写代码的形式。我们已经将所有权重放到一个 $3 \\times 4$ 矩阵中。对于给定数据样本的特征 $\\mathbf{x}$，我们的输出是由权重与输入特征进行矩阵-向量乘法再加上偏置$\\mathbf{b}$得到的。\n",
    "\n",
    "## 全连接层的参数开销\n",
    ":label:`subsec_parameterization-cost-fc-layers`\n",
    "正如我们将在后续章节中看到的，在深度学习中，全连接层无处不在。\n",
    "然而，顾名思义，全连接层是“完全”连接的，可能有很多可学习的参数。\n",
    "具体来说，对于任何具有$d$个输入和$q$个输出的全连接层，参数开销为$\\mathcal{O}(dq)$，在实践中可能高得令人望而却步。\n",
    "幸运的是，将$d$个输入转换为$q$个输出的成本可以减少到$\\mathcal{O}(\\frac{dq}{n})$，其中超参数$n$可以由我们灵活指定，以在实际应用中平衡参数节约和模型有效性 :cite:`Zhang.Tay.Zhang.ea.2021` 。\n",
    "\n",
    "\n",
    "\n",
    "## softmax运算\n",
    ":label:`subsec_softmax_operation`\n",
    "\n",
    "在这里要采取的主要方法是将模型的输出视作为概率。我们将优化参数以最大化观测数据的概率。为了得到预测结果，我们将设置一个阈值，如选择具有最大概率的标签。\n",
    "\n",
    "我们希望模型的输出 $\\hat{y}_j$ 可以视为属于类 $j$ 的概率。然后我们可以选择具有最大输出值的类别$\\operatorname*{argmax}_j y_j$作为我们的预测。例如，如果 $\\hat{y}_1$、$\\hat{y}_2$ 和 $\\hat{y}_3$ 分别为 0.1、0.8 和 0.1，那么我们预测的类别是2，在我们的例子中代表 “鸡”。\n",
    "\n",
    "你可能会想能否将未归一化的预测 $o$ 直接视作我们感兴趣的输出。但是，将线性层的输出直接视为概率时存在一些问题：一方面，没有限制这些数字的总和为1。另一方面，根据输入的不同，它们可以为负值。这些违反了 :numref:`sec_prob` 中所说的概率基本公理。\n",
    "\n",
    "要将输出视为概率，我们必须保证在任何数据上的输出都是非负的且总和为1。此外，我们需要一个训练目标，来鼓励模型精准地估计概率。在分类器输出0.5的所有样本中，我们希望这些样本有一半实际上属于预测的类。\n",
    "这个属性叫做*校准*（calibration）。\n",
    "\n",
    "社会科学家邓肯·卢斯于1959年在*选择模型*（choice models）的背景下发明的*softmax函数*正是这样做的。\n",
    "为了将未归一化的预测变换为非负并且总和为1，同时要求模型保持可导。我们首先对每个未归一化的预测求幂，这样可以确保输出非负。为了确保最终输出的总和为1，我们再对每个求幂后的结果除以它们的总和。如下式：\n",
    "\n",
    "$$\\hat{\\mathbf{y}} = \\mathrm{softmax}(\\mathbf{o})\\quad \\text{其中}\\quad \\hat{y}_j = \\frac{\\exp(o_j)}{\\sum_k \\exp(o_k)}$$\n",
    ":eqlabel:`eq_softmax_y_and_o`\n",
    "\n",
    "容易看出对于所有的 $j$ 总有 $0 \\leq \\hat{y}_j \\leq 1$。因此，$\\hat{\\mathbf{y}}$ 可以视为一个正确的概率分布。softmax 运算不会改变未归一化的预测 $\\mathbf{o}$ 之间的顺序，只会确定分配给每个类别的概率。因此，在预测过程中，我们仍然可以用下式来选择最有可能的类别。\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\operatorname*{argmax}_j \\hat y_j = \\operatorname*{argmax}_j o_j.\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "尽管softmax是一个非线性函数，但softmax回归的输出仍然由输入特征的仿射变换决定。因此，softmax回归是一个线性模型。\n",
    "\n",
    "## 小批量样本的矢量化\n",
    ":label:`subsec_softmax_vectorization`\n",
    "\n",
    "为了提高计算效率并且充分利用GPU，我们通常会针对小批量数据执行矢量计算。假设我们读取了一个批量的样本 $\\mathbf{X}$ ，其中特征维度（输入数量）为$d$，批量大小为$n$。此外，假设我们在输出中有 $q$ 个类别。那么小批量特征为 $\\mathbf{X} \\in \\mathbb{R}^{n \\times d}$ ，权重为 $\\mathbf{W} \\in \\mathbb{R}^{d \\times q}$，偏置为 $\\mathbf{b} \\in \\mathbb{R}^{1\\times q}$。softmax回归的矢量计算表达式为：\n",
    "\n",
    "$$ \\begin{aligned} \\mathbf{O} &= \\mathbf{X} \\mathbf{W} + \\mathbf{b}, \\\\ \\hat{\\mathbf{Y}} & = \\mathrm{softmax}(\\mathbf{O}). \\end{aligned} $$\n",
    ":eqlabel:`eq_minibatch_softmax_reg`\n",
    "\n",
    "相对于一次处理一个样本，小批量样本的矢量化加快了 $\\mathbf{X}和\\mathbf{W}$ 的矩阵-向量乘法。由于 $\\mathbf{X}$ 中的每一行代表一个数据样本，所以softmax运算可以*按行*（rowwise）执行：对于$\\mathbf{O}$的每一行，我们先对所有项进行幂运算，然后通过求和对它们进行标准化。\n",
    "在 :eqref:`eq_minibatch_softmax_reg` 中 $\\mathbf{X} \\mathbf{W} + \\mathbf{b}$ 的求和会使用广播，小批量的未归一化预测 $\\mathbf{O}$ 和输出概率 $\\hat{\\mathbf{Y}}$ 都是形状为 $n \\times q$ 的矩阵。\n",
    "\n",
    "## 损失函数\n",
    "\n",
    "接下来，我们需要一个损失函数来度量预测概率的效果。我们将依赖最大似然估计，这与我们在为线性回归（ :numref:`subsec_normal_distribution_and_squared_loss` ）中的均方误差目标提供概率证明时遇到的概念完全相同。\n",
    "\n",
    "### 对数似然\n",
    "\n",
    "softmax函数给出了一个向量 $\\hat{\\mathbf{y}}$，我们可以将其视为给定任意输入 $\\mathbf{x}$的每个类的估计条件概率。例如，$\\hat{y}_1$ = $P(y=\\text{猫} \\mid \\mathbf{x})$。假设整个数据集 $\\{\\mathbf{X}, \\mathbf{Y}\\}$ 具有 $n$ 个样本，其中索引 $i$ 的样本由特征向量 $\\mathbf{x}^{(i)}$ 和独热标签向量 $\\mathbf{y}^{(i)}$ 组成。我们可以将估计值与实际值进行比较：\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "P(\\mathbf{Y} \\mid \\mathbf{X}) = \\prod_{i=1}^n P(\\mathbf{y}^{(i)} \\mid \\mathbf{x}^{(i)}).\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "根据最大似然估计，我们最大化 $P(\\mathbf{Y} \\mid \\mathbf{X})$，相当于最小化负对数似然：\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "-\\log P(\\mathbf{Y} \\mid \\mathbf{X}) = \\sum_{i=1}^n -\\log P(\\mathbf{y}^{(i)} \\mid \\mathbf{x}^{(i)})\n",
    "= \\sum_{i=1}^n l(\\mathbf{y}^{(i)}, \\hat{\\mathbf{y}}^{(i)}),\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "其中，对于任何标签 $\\mathbf{y}$ 和模型预测 $\\hat{\\mathbf{y}}$，损失函数为：\n",
    "\n",
    "$$ l(\\mathbf{y}, \\hat{\\mathbf{y}}) = - \\sum_{j=1}^q y_j \\log \\hat{y}_j. $$\n",
    ":eqlabel:`eq_l_cross_entropy`\n",
    "\n",
    "在本节稍后的内容会讲到， :eqref:`eq_l_cross_entropy` 中的损失函数通常被称为 *交叉熵损失*（cross-entropy loss）。由于 $\\mathbf{y}$ 是一个长度为 $q$ 的独热编码向量，所以除了一个项以外的所有项 $j$ 都消失了。由于所有 $\\hat{y}_j$ 都是预测的概率，所以它们的对数永远不会大于 $0$。\n",
    "因此，如果正确地预测实际标签，即，如果实际标签 $P(\\mathbf{y} \\mid \\mathbf{x})=1$，则损失函数不能进一步最小化。\n",
    "注意，这往往是不可能的。例如，数据集中可能存在标签噪声（某些样本可能被误标），或输入特征没有足够的信息来完美地对每一个样本分类。\n",
    "\n",
    "### softmax及其导数\n",
    ":label:`subsec_softmax_and_derivatives`\n",
    "\n",
    "由于softmax和相关的损失函数很常见，因此值得我们更好地理解它的计算方式。将 :eqref:`eq_softmax_y_and_o` 代入损失 :eqref:`eq_l_cross_entropy` 中。利用softmax的定义，我们得到：\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\begin{aligned}\n",
    "l(\\mathbf{y}, \\hat{\\mathbf{y}}) &=  - \\sum_{j=1}^q y_j \\log \\frac{\\exp(o_j)}{\\sum_{k=1}^q \\exp(o_k)} \\\\\n",
    "&= \\sum_{j=1}^q y_j \\log \\sum_{k=1}^q \\exp(o_k) - \\sum_{j=1}^q y_j o_j\\\\\n",
    "&= \\log \\sum_{k=1}^q \\exp(o_k) - \\sum_{j=1}^q y_j o_j.\n",
    "\\end{aligned}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "为了更好地理解发生了什么，考虑相对于任何未归一化的预测 $o_j$ 的导数。我们得到：\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\partial_{o_j} l(\\mathbf{y}, \\hat{\\mathbf{y}}) = \\frac{\\exp(o_j)}{\\sum_{k=1}^q \\exp(o_k)} - y_j = \\mathrm{softmax}(\\mathbf{o})_j - y_j.\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "换句话说，导数是我们模型分配的概率（由softmax得到）与实际发生的情况（由独热标签向量表示）之间的差异。从这个意义上讲，与我们在回归中看到的非常相似，其中梯度是观测值$y$和估计值$\\hat{y}$之间的差异。这不是巧合，在任何指数族分布（参见 [关于分布的在线附录](https://d2l.ai/chapter_appendix-mathematics-for-deep-learning/distributions.html)）模型中，对数似然的梯度正是由这给出的。这使梯度计算在实践中变得容易。\n",
    "\n",
    "### 交叉熵损失\n",
    "\n",
    "现在考虑这样一个例子：我们观察到的不仅仅是一个结果，而是整个结果分布。对于标签 $\\mathbf{y}$，我们可以使用与以前相同的表示形式。唯一的区别是，我们现在用一个概率向量表示，如$(0.1, 0.2, 0.7)$，而不是仅包含二元项的向量$(0, 0, 1)$。我们使用 :eqref:`eq_l_cross_entropy` 来定义损失 $l$。它是所有标签分布的预期损失值。此损失称为 *交叉熵损失*（cross-entropy loss），它是分类问题最常用的损失之一。我们将通过介绍信息论的基础来理解这个名字。如果你想了解更多信息论细节，你可以进一步参考 [信息论的在线附录](https://d2l.ai/chapter_appendix-mathematics-for-deep-learning/information-theory.html)。\n",
    "\n",
    "\n",
    "## 信息论基础\n",
    ":label:`subsec_info_theory_basics`\n",
    "\n",
    "*信息论* 涉及编码、解码、发送以及尽可能简洁地处理信息或数据。\n",
    "\n",
    "### 熵\n",
    "\n",
    "信息论的核心思想是量化数据中的信息内容，在信息论中，该数值被称为分布$P$ 的 *熵*（entropy）。可以通过以下方程得到：\n",
    "\n",
    "$$H[P] = \\sum_j - P(j) \\log P(j).$$\n",
    ":eqlabel:`eq_softmax_reg_entropy`\n",
    "\n",
    "信息论的基本定理之一指出，为了对从分布 $p$ 中随机抽取的数据进行编码，我们至少需要 $H[P]$ “纳特（nat）” 对其进行编码。“纳特”相当于位，但是对数底为$e$而不是2。因此，一个纳特是 $\\frac{1}{\\log(2)} \\approx 1.44$ 位。\n",
    "\n",
    "### 惊异\n",
    "\n",
    "你可能想知道压缩与预测有什么关系。想象一下，我们有一个要压缩的数据流。如果我们总是很容易预测下一个数据，那么这个数据很容易压缩！举一个极端的例子，数据流中的每个数据总是采用相同的值。这是一个非常无聊的数据流！由于它们总是相同的，所以很容易被预测，所以我们为了传递数据流的内容不必传输任何信息。当数据易于预测，也就易于压缩。\n",
    "\n",
    "但是，如果我们不能完全预测每一个事件，那么我们有时可能会感到惊异。当我们赋予一个事件较低的概率时，我们的惊异会更大。克劳德·香农决定用 $\\log \\frac{1}{P(j)} = -\\log P(j)$来量化一个人的 *惊异*（surprisal）。在观察一个事件 $j$，并赋予它（主观）概率 $P(j)$。在 :eqref:`eq_softmax_reg_entropy` 中定义的熵是当分配的概率真正匹配数据生成过程时的*预期惊异*（expected surprisal）。\n",
    "\n",
    "### 重新审视交叉熵\n",
    "\n",
    "所以，如果熵是知道真实概率的人所经历的惊异程度，那么你可能会想知道，什么是交叉熵？\n",
    "交叉熵 *从* $P$ *到* $Q$，记为 $H(P, Q)$，是主观概率为$Q$的观察者在看到根据概率$P$实际生成的数据时的预期惊异。当$P=Q$时，交叉熵达到最低。在这种情况下，从 $P$到$Q$ 的交叉熵是 $H(P, P)= H(P)$。\n",
    "\n",
    "简而言之，我们可以从两方面来考虑交叉熵分类目标：（i）最大化观测数据的似然；（ii）尽量减少我们的惊异所需的通讯量。\n",
    "\n",
    "## 模型预测和评估\n",
    "\n",
    "在训练softmax回归模型后，给出任何样本特征，我们可以预测每个输出类别的概率。通常我们使用预测概率最高的类别作为输出类别。如果预测与实际类别（标签）一致，则预测是正确的。在接下来的实验中，我们将使用 *准确率* 来评估模型的性能。准确率等于正确预测数与预测的总数之间的比率。\n",
    "\n",
    "## 小结\n",
    "\n",
    "* softmax运算获取一个向量并将其映射为概率。\n",
    "* softmax回归适用于分类问题。它使用了softmax运算中输出类别的概率分布。\n",
    "* 交叉熵是一个衡量两个概率分布之间差异的很好的度量。它测量给定模型编码数据所需的比特数。\n",
    "\n",
    "## 练习\n",
    "\n",
    "1. 我们可以更深入地探讨指数族与 softmax 之间的联系。\n",
    "    1. 计算softmax交叉熵损失 $l(\\mathbf{y},\\hat{\\mathbf{y}})$ 的二阶导数。\n",
    "    1. 计算 $\\mathrm{softmax}(\\mathbf{o})$ 给出的分布方差，并与上面计算的二阶导数匹配。\n",
    "1. 假设我们有三个类发生的概率相等，即概率向量是 $(\\frac{1}{3}, \\frac{1}{3}, \\frac{1}{3})$。\n",
    "    1. 如果我们尝试为它设计二进制代码，有什么问题？\n",
    "    1. 你能设计一个更好的代码吗？提示：如果我们尝试编码两个独立的观察结果会发生什么？如果我们联合编码 $n$ 个观测值怎么办？\n",
    "1. softmax是对上面介绍的映射的误用(但深度学习中的每个人都使用它)。真正的softmax被定义为 $\\mathrm{RealSoftMax}(a, b) = \\log (\\exp(a) + \\exp(b))$。\n",
    "    1. 证明 $\\mathrm{RealSoftMax}(a, b) > \\mathrm{max}(a, b)$。\n",
    "    1. 证明 $\\lambda^{-1} \\mathrm{RealSoftMax}(\\lambda a, \\lambda b) > \\mathrm{max}(a, b)$成立，前提是 $\\lambda > 0$。\n",
    "    1. 证明对于 $\\lambda \\to \\infty$ ，有 $\\lambda^{-1} \\mathrm{RealSoftMax}(\\lambda a, \\lambda b) \\to \\mathrm{max}(a, b)$。\n",
    "    1. soft-min会是什么样子？\n",
    "    1. 将其扩展到两个以上的数字。\n"
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  }
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